On SIR models with fractional derivatives
Tez Türü: Yüksek Lisans
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik, Türkiye
Tez Danışmanı: Elif Demir
Tezin Onay Tarihi: 2024
Tezin Dili: İngilizce
Desteklendiği Program: Diğer
Özet:
Epidemik hastalıklar tarih boyunca insanlığın aşması gereken önemli konulardan biri olmuştur. Bilim dünyası ise bu önemli konuyu gerek açıklayabilmek gerekse çareler üretmek için çeşitli çalışmalara sahne olmuştur. SIR modeller, epidemik hastalıkları açıklamak için kullanılan ilk modellerden biri olup bu hastalıkların dinamiklerini inceleyen diğer matematiksel modellemelere de öncülük etmiştir. Yapılan bu çalışmalar gerçek hayatta yaşanan bir epideminin sürecini ifade ettiğinden, hassas veri üretme konusunda bize yardımcı olan kesirli türevleri kullanmak daha avantajlıdır. Bu çalışmada, herhangi bir epidemik hastalık için kullanılabilen klasik modelin yanı sıra grip ve Covid-19 hastalıkları üzerine yeni modeller oluşturulup bu modeller kullanılarak hastalıkların seyri hakkında çeşitli inceleme ve yorumlarda bulunulmuştur. Bu tez, giriş ve sonuç kısımları hariç üç bölümden oluşmaktadır. Giriş kısmında kesirli kalkülüsün ve SIR modellerin tarihçesinden bahsedilmiştir. İlk bölümde, kesirli türevlerle ilgili yapılan işlemlerde kullanılabilen yardımcı fonksiyonlar ve dönüşümlerden bahsedilip farklı kesirli türev türlerinin tanımları verilmiştir. İkinci bölümde, kesirli türevleri içeren SIR modeller tanıtılıp bu modellerin çözümlerinin negatif olmaması, modellerin kararlılık analizlerinin yapılmasında kullanılan yöntemler ve bu modellerin yapısına uygun olan nümerik yaklaşım yöntemlerinden bazıları verilmiştir. Üçüncü bölümde ise herhangi bir epidemik hastalığın dinamiklerinin incelenmesinde kullanılabilecek klasik model verilip maske takmanın ve takılan bu maskenin etkinlik oranının Covid-19 dinamiklerini nasıl etkilediğini gösteren bir model, aşının ve aşının etkinlik oranının Türkiye'deki Covid-19 dinamiklerini nasıl etkilediğini gösteren bir model, tedavi olmanın ve aşılanmanın gribin dinamiklerini nasıl etkilediğini gösteren bir model kurulmuştur. Ayrıca kurulan bu modeller üzerinde bir önceki bölümde anlatılanlar kullanılarak çeşitli incelemeler yapılmıştır.