Kesirli Diferansiyel Denklemler İçin Nümerik Metotlar
Tezin Türü: Yüksek Lisans
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2023
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: MUSTAFA ERTÜRK
Danışman: Yonca Sezer
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:Son iki yüzyıl içerisinde doğa bilimlerinde kısmi ve adi diferansiyel denklemleri kullanarak açıklanamayan durumlar ile karşılaşılmıştır. Bu durumları ifade edebilmek, tam mertebeden türevli olmayan yani kesirli türevli olan terimleri açıklamayı gerektirmiştir. Bazı matematikçiler sayesinde bu terimler farklı şekilde tanımlanabilmiştir. Elde edilen çeşitli tanımlar vasıtasıyla bu durumları açıklayan kesirli diferansiyel denklemler ortaya atılmıştır. Denklemlerin çözümünde ise farklı teknikler kullanılarak tam veya yaklaşık çözümler elde edebilen nümerik metotlar geliştirilmeye çalışılmıştır. Genel anlamda sonuçların güvenilirliği, hata payı, uygulamadaki kolaylığı ve formüllerinin içeriği bu metotlar için kullanışlılığı arttıran etkenler olarak ön plana çıkmaktadır. Bu çalışmada, günümüzde birçok alanda karşımıza çıkan kesirli diferansiyel denklem problemlerinin çözümü için geliştirilmiş bazı nümerik metotlar üzerinde durulmuştur. Çalışmanın ilk kısımda, kesirli diferansiyel denklemler ile ilgili temel kavramlar verilmiş, ilerleyen bölümlerde ise bu denklemlerin çözümünde kullanılan Adomian ayrıştırma, diferansiyel dönüşüm, homotopi pertürbasyon ve Jacobi polinom sıralama yöntemleri tanıtılmıştır. Son bölümde ise önemli bir fizik problemi olan ve kesirli diferansiyel denklem biçiminde tanımlanan Bagley-Torvik matematiksel modeli üzerinde incelemeler yapılmıştır. Bu modelin farklı başlangıç değer problemlerinin yaklaşık çözümlerini elde etmek için diferansiyel dönüşüm metodu, Jacobi polinom sıralama yöntemi ve bazı başka yöntemler uygulanmıştır. Bu çözümler karşılaştırılarak elde edilen sonuçların verimliliği hakkında yorumlar yapılmıştır. Diferansiyel dönüşüm metodu ile kesirli diferansiyel denklemlerin basit cebirsel ifadelere dönüştürülerek kolaylıkla çözümlenebilir olduğu gösterilmiştir.