GL_{h,h'}(1|1) süper grubunun diferansiyel geometrisi

---

Tezin Türü: Doktora

Tezin Yürütüldüğü Kurum: Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, MATEMATİK ANABİLİM DALI, Türkiye

Tezin Onay Tarihi: 2025

Tezin Dili: Türkçe

Öğrenci: İLKNUR TEMLİ

Danışman: Salih Çelik

Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu

Özet:

Bu çalışmada, iki ranklı ikisi çift ve ikisi tek elemandan oluşan 2x2 süper matrislerin bir grubu olan GL(1|1) matris süper grubunun iki parametreli standart olmayan deformasyonu üzerine değişmeli olmayan bir geometri kurulacaktır. Bir cebirsel veya geometrik yapının bir parametreyle sürekli bozulması işlemine yapının deformasyonu denilmektedir. Ortaya çıkan yeni yapılara "kuantum yapılar" diyoruz. Kuantum diferansiyel geometri, klasik diferansiyel geometrideki birçok yapıyı cebirsel olarak değerlendirip onların deforme edilmesini amaçlar. Burada amaç, deformasyon parametresinin bazı özel değer(ler)i için klasiğe dönmektir. Bu bağlamda kuantum yapıların, klasik yapıların bir genelleştirilmesi olduğu düşünülebilir. Dolayısıyla, klasiğe göre çok daha karışık yapılar meydana gelir. Durum, süper yapılar klasik yapılara bazı eklemelerle elde edildiğinden -ki deforme edilmemiş halde bile- şüphesiz daha karmaşık hale gelmektedir. GL(1|1) matris süper grubunun GL_{h,h'}(1|1) ile gösterilen standart olmayan (h,h')-deformasyonunun koordinat cebiri olan O(GL_{h,h'}(1|1)) cebiri bir Hopf süper cebiridir. Bu tez iki kısımdan oluşmaktadır. İlk kısımda, O(GL_{h,h'}(1|1)) Hopf süper cebiri üzerine bir ikili-kovaryant diferansiyel hesap kurulacaktır. İkinci kısımda ise bu diferansiyel hesaba, süper iç türevler ve süper Lie türevler eklenerek çok daha geniş bir diferansiyel hesap elde edilecektir. Bu hesaba Cartan hesabı denilmektedir. Standart deformasyonda, birinci mertebe diferansiyel hesap için cebirin jeneratörlerine etki eden bir \sigma cebir homomorfizmi mevcuttur. Bu tezde, standart olmayan (h,h')-deformasyonda da cebirin jeneratörlerine etki eden {\mathbb Z}_2-dereceli bir \sigma: O(GL_{h,h'}(1|1)) \to M_4(O( GL_{h,h'}(1|1))) mevcut olduğu gösterilmektedir. Bu süper cebir homomorfizmi, süper cebirin jeneratörlerinin 4x4-tipindeki temsillerinin bulunmasını ve ortaya çıkan bütün komutasyon bağıntılarının kompakt formda ifade edilmesini sağlaması açısından oldukça önemlidir. Ayrıca O(GL_{h,h'}(1|1)) cebiri üzerine yüksek mertebe diferansiyel hesap kurulurken ortaya çıkacak olan Cartan-Maurer 1-formlarını içeren bağıntılarda mevcuttur. Bu bağıntılar ise cebirin jeneratörleri üzerine etki eden bir $\mu$ cebir homomorfizmi ile kompakt formda ifade edilebilecektir. Bu \mu cebir homomorfizmi de son derece önemli olup, genişletilmiş diferansiyel hesabın bileşenleri ile olan bağıntıları kompakt formda ifade edebilmemize imkan tanıyacaktır.