Homojen uzaylarda lineer kontrol sistemleri
Tezin Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2024
Tezin Dili: İngilizce
Öğrenci: Okan DUMAN
Asıl Danışman (Eş Danışmanlı Tezler İçin): Eyüp Kızıl
Eş Danışman: Adriano Da Silva
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:Bu tez, temel olarak 3D Heisenberg Lie grubu $\HB$ ve onun kapalı alt grupları özelinde, homojen uzaylar üzerindeki doğrusal kontrol sistemlerinin incelenmesine odaklanmaktadır. Ana motivasyonu, P. Jouan'ın manifoldlar üzerindeki kontrol afin sistemleri ile Lie grupları veya homojen uzaylar üzerindeki doğrusal kontrol sistemleri (kısaca LCSs) arasında oldukça ilginç bir bağlantı olduğunu gösteren bir sonucu oluşturmaktadır. Tezdeki hedef, $\HB$ ile oluşturulan homojen uzaylar üzerindeki mümkün olan tüm doğrusal kontrol sistemlerinin kapsamlı bir karakterizasyonunu sağlamak ve dinamik özelliklerini araştırmaktır. Bu detaylı analiz, çeşitli boyutlardaki kapalı alt grupları kapsamakta ve $\HB$ Lie grubunun homojen uzayları üzerindeki LCS'lerin tüm yönleriyle anlaşılmasına olanak sağlamaktadır. İlk bölümlerde lineer vektör alanları, Lie grupları üzerindeki LCS'ler tanıtılarak bir temel oluşturulmakta ve $\HB$ grubunun kapalı alt gruplarının sınıflandırılması yapılmaktadır. Tüm bunlara dayanarak, sonraki bölümler, sistemlerin akışları (flow) altında alt gruplar için invaryantlık kriterleri göz önüne alınacak şekilde, LCS'lerinin homojen uzaylar üzerine projeksiyonunu ele almaktadır. Bu analizlerin odak noktası, farklı boyutlardaki normal olmayan alt grupların detaylı incelemeleri ile kontrol edilebilirlik ve kontrol kümeleri etrafında yoğunlaşmaktadır. Belirli durumlarda ortaya çıkan çok daha karmaşık yapılar ve bunların kontrol edilebilirlik problemlerine özel bir önem verilmektedir. Ortaya çıkan her bir durum, adım adım ayrıntılı olarak incelenip, elde edilen geometrik tasvirler; topolojik ve geometrik özelliklerine vurgu yapılarak açıklanmaktadır. İlk bölümlerde, tezin sonraki bölümlerinin daha iyi anlaşılmasını sağlamak amacıyla teorideki temel kavramlara genel bir bakış sunulmaktadır. \ref{LCStan} ve \ref{lcsofhom}'üncü bölümler, Heisenberg grubunun homojen uzayları üzerindeki olası tüm LCS'lerini açık bir şekilde karakterize etmek için gerekli sonuçları inşa etmeye odaklanmaktadır. \ref{lastsec}'inci bölüm, bu sistemlerin dinamiklerini ele almakta ve bunların kontrol edilebilirlik problemlerinin ayrıntılı bir analizini sunmaktadır. Son bölümde, şu ana kadar elde edilen sonuçlar gözden geçirilmekte ve bulguların sonuçları, gelecekteki araştırmalarda ele alınacak yeni problemlerin değerlendirilmesiyle birlikte sunulmaktadır.