Wavelet Methods for Solving Nonlinear Fractional Order Partial Differential Equations

---

Tezin Türü: Doktora

Tezin Yürütüldüğü Kurum: Yıldız Teknik Üniversitesi, Kimya-Metalurji Fakültesi, Matematik Müh.Bölümü, Türkiye

Tezin Onay Tarihi: 2022

Tezin Dili: İngilizce

Öğrenci: Melih ÇINAR

Danışman: Aydın Seçer

Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu

Özet:

Kesirli analiz, klasik analizdeki gibi sadece tamsayı mertebeli türev ve integralleri değil de, keyfi mertebeli türev ve integralleri içeren matematiğin modern konularından biridir. Yani, tamsayı mertebeleri içeren klasik diferansiyel hesabın genelleştirilmesi olarak kabul edilir. Kesirli analiz konusu son otuz yılda matematik, fizik, kimya, hidroloji, mühendislik, tıp ve finans gibi birçok farklı alanda kendisine uygulama alanı bulmuş, bu alanlardaki birçok probleme başarıyla uygulanmış ve oldukça popüler bir çalışma alanına dönüşmüştür. Doğrusal olmama, doğanın gizemli ama bir o kadar da büyüleyici yönlerinden biridir ve insanoğlu bu gizemi çözebilmek için her zaman daha iyi modellere ihtiyaç duymaktadır. Kesirli türev ve integraller, çeşitli materyallerde bulunan hafıza ve kalıtsal özelliklerin daha iyi tanımlanmasını mümkün kılabilmektedir. Bu yüzden kesirli hesap kullanılarak oluşturulan modeller, özellikle gerçek yaşamda karşılaştığımız bazı problemlerde tamsayı mertebeli türev veya integralleri içeren klasik modellere kıyasla çok daha iyi bir modelleme fırsatı sağlayabilmektedir. Ayrıca literatürde farklı kesirli türev ve integral tanımları bulunmakta ve her bir tanımın birbirinden farklı özellikleri olabilmektedir. Bu durum araştırmacının bilimsel bir problemi modelleme yaparken probleme uygun bir kesirli türev ve integral tanımı seçerek problemi çözmesine olanak sunabilmektedir. Sonuç olarak, yukarıda bahsi geçen uygulama alanlarındaki problemler genellikle kesirli diferansiyel denklemler vasıtasıyla daha iyi modellenebildiği için bu denklemlerin çözüm davranışlarının belirlenmesine artan bir ihtiyaç vardır. Ancak, doğrusal olmayan kesirli diferansiyel denklemlerin çoğu henüz analitik olarak çözülmemiştir, bu da denklemlerin çözümünü belirlemede sayısal yaklaşımları önemli kılar. Bu tezin birincil amacı, doğrusal olmayan kesirli mertebeli kısmi diferansiyel denklemler için dalgacık sıralama yaklaşımlarına dayalı etkili bir sayısal çözüm metodolojisi sağlamaktır. Kullanılan yöntemlerin genel mantığını açıklamak gerekirse; öncelikle ele alınan doğrusal olmayan kesirli meretebeli kısmi diferansiyel denklemdeki her bir terim ilgili dalgacık çeşidi ve dalgacık integrasyon matrisi yardımıyla yeniden oluşturulur. Yeni terimleri kesirli kısmi diferansiyel denkleme yerleştirdikten ve elde edilen denklemi sıralama noktalarında ayrıklaştırdıktan sonra, bir cebirsel denklem sistemi elde edilir. Böylece, kesirli mertebeli doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulma gibi zor bir problem, bir bilgisayar programı kullanılarak kolayca çözülebilecek cebirsel denklem sistem çözme problemine indirgenmiş olur. Tezde elde edilen işbu çözümler literatürdeki güncel çalışmalardaki analitik veya sayısal sonuçlarıyla karşılaştırılmakta, ayrıca ele alınan stratejinin etkili olup olmadığını göstermek için grafikler ve tablolar kullanılarak sunulmaktadır. Söz konusu sonuçlar, dalgacık yaklaşımının basit algoritması, yüksek doğruluğu ve kısa hesaplama süresi nedeniyle doğrusal olmayan kesirli mertebeli kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için uygun olduğunu göstermektedir.