Galois Halkaları
Tezin Türü: Yüksek Lisans
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, MATEMATİK ANABİLİM DALI, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2011
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: Elif altınay
Asıl Danışman (Eş Danışmanlı Tezler İçin): Gürsel Yeşilot
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:Bu tezin temel konusu Galois halkalarının yapısı ve inşa edilmesidir. İlk olarak Bölüm 2'de Galois halkalarını ve sonrasında zincir halkalarını çalışmak için gerekli ön bilgileri verdik. Üçüncü bölümde, Kalan Sınıf halkası, Polinom Halkası ve İdealleri, Hensel Yrd. Teoremi ve Temel İndirgenemez Polinomlar olmak üzere üç başlığı çalıştık. Bu bölümdeki bilgilerin Galois halkalar teorisinde çok önemli yeri vardır. Tezimizin ana bölümü, 4. Bölüm Galois Halkalarıdır. Bu bölümde sırasıyla, Galois halkalarının tanımı ve örnekleri, yapısı, p-adik gösterimi, birimselleri, genişlemeleri, otomorfizmaları, iz ve norm tanımlarını verdik. p bir asal sayı olsun. Birimi 1 olan değişmeli sonlu bir halkada, halkanın sıfırı ve sıfır bölenleri idealini oluşturuyorsa bu halkaya Galois halkası denir. R nin sıfır bölen olmayan elemanları birimseldir. Bu yüzden, R nin tek maksimal ideali dir. R, karakteristiği ve kardinalitesi olan bir Galois halkası ve m. dereceden monik temel indirgenemez bir polinom olmak üzere izomorfizması vardır. O halde, karakteristikleri ve kardinaliteleri aynı olan Galois halkaları izomorftur. Bu yüzden, karakteristiği ve kardinalitesi olan Galois halkalarını kısaca GR( , ) ile gösteriyoruz. polinomunun mertebesi olan bir kökü vardır, ve yazabiliriz. olsun. olmak üzere her elemanını şeklinde p-adik gösterimle tek türlü ifade edebiliriz. , ve dereceden monik temel indirgenemez bir polinom olmak üzere izomorfizması vardır. Son bölümde zincir halkalarını inceledik. Bir halkanın bütün idealleri kapsamaya göre lineer sıralı ise yani bir zincir oluşturuyorsa bu halkaya zincir halka denir. Sonlu zincir halkalar, maksimal ideali temel ideal olan yerel halkalardır. , maksimal ideali M olan sonlu bir zincir halka olsun. : nin karakteristiği; : ; : M nin nilpotentlik indeksi, iken ve iken olmak üzere ; k : olacak şekilde ya eşit veya küçük olan en büyük tamsayı olmak üzere p, s, m, k, t tamsayılarına nin sabitleri denir. , dereceden bir Eisenstein polinomu olsun. p, s, m, k, t sabitlerine sahip her sonlu zincir halkası için yazabiliriz.