SINIR KOŞULLARINDA PARAMETRE BULUNAN STURM-LIOUVILLE DİFERANSİYEL DENKLEMLERİNİN SPEKTRAL ANALİZİ


Köklü K.

International Conference on Multidisciplinary Sciences (icomus), İstanbul, Türkiye, 22 Ağustos - 24 Eylül 2019, ss.4

  • Basıldığı Şehir: İstanbul
  • Basıldığı Ülke: Türkiye
  • Sayfa Sayıları: ss.4

Özet

Bu çalışmada, sınır koşulları spektral parametre içeren aşağıdaki gibi verilmiş özel düzenli Sturm-Liouville problemi incelenmiştir.

 

  olmak üzere    Hilbert uzayında tanımlı

 

ve

sınır koşulları altında

                                                   (*)

 

şeklindeki diferansiyel denklemin özdeğer ve özfonksiyonları araştırılmıştır, burada    ()  ve    bir karmaşık parametredir.

              Hilbert uzayında göz önüne alınan problemin, kendi kendine eşlenik bir    operatörü ile temsil edilebildiği ve bu operatörün spektrumunun tamamen ayrık olduğu kanıtlanmıştır. Ayrıca,   nın özfonksiyonlarının    uzayında tam bir ortonormal sistem şeklini aldığı da gösterilmiştir.    ve    parametrelerinin değişimine bağlı olarak yukarıdaki problemin özdeğerleri için asimptotik formüller elde edilmiştir.  ,    ve   özel durumu için (*) diferansiyel denklemin özfonksiyonları için bir açılım formülü ısı denklemine uygulanmıştır.

 

The following special regular Sturm-Liouville problem involving the spectral parameter in the boundary conditions is studied. In Hilbert space  , as    is a finite closed interval, the eigenvalues and eigenfunctions of equation

 

                                                  (*)

 

under the boundary conditions of

and

 

where    ()  and    is a coplex parameter, are investigated.

            It is shown that the problem considered in the Hilbert space,  , can be represented with a self-adjoint operator    and it is proved that spectrum of    is purely discrete. Using this it is also shown that eigenfunctions of    take the form of a complete orthonormal system in  . Asymptotic formulae for the eigenvalues of the above problem depending on variation of parameters    and    are obtained. As an example, for a special case when    and    the expansion formula for the eigenfunctions of (*) the differential equation is applied to boundary value problem for heat equation.