Yüksek Mertebeden Dispersiyon İçeren Kübik-kuintik Nonlineer Schrödinger Denkleminin Pt-Simetrik Bir Potansiyel Altında Çözümü


Esen H. , Bakırtaş Akar İ.

21. Ulusal Mekanik Kongresi, Niğde, Türkiye, 2 - 06 Eylül 2019, ss.247-255

  • Basıldığı Şehir: Niğde
  • Basıldığı Ülke: Türkiye
  • Sayfa Sayıları: ss.247-255

Özet

Doğadaki pek çok olgu, nonlineer (doğrusal olmayan) denklem sistemleriyle modellenir. Bu tip sistemlerin çoğunun, bilinen nonlineer dalga tipi çözümleri vardır ve bunların bir kısmı da soliton olarak isimlendirilir. Optikte nonlineer dalgaların modellenmesinde kullanılan nonlineer (doğrusal olmayan) Schrödinger (NLS) denkleminin analitik ve sayısal çözümleri, literatürde geniş çaplı incelenmiştir. Kıtalar arası veri iletiminde performans artırımı için (1+1) boyutlu NLS denklemi modifiye edilerek üçüncü dereceden dispersiyon (3OD) da modele eklenmiştir.

Bu çalışmada, üçüncü mertebe dispersiyon terimi ve PT-simetrisi özelliği olan bir dış potansiyel içeren, doğrusal olmayan, kübik-kuintik (üçüncü ve beşinci mertebeden nonlineerite içeren) Schrödinger denkleminin soliton tipi çözümlerinin analitik ve sayısal olarak varlığı incelenmiş ve sonuçlar çeşitli grafiklerle gösterilmiştir. Analitik çözümleri sayısal çözümlerle karşılaştırmak için, temelde Fourier iterasyonuna dayanan ve literatürde spektral renormalizasyon (SR) yöntemi olarak bilinen sayısal yöntem, probleme uygulanacak şekilde modifiye edilerek kullanılmıştır. Sayısal çözümler kesin çözümlerle karşılaştırılmış ve potansiyelin farklı derinlikleri ve 3OD teriminin katsayısı için çözümlerin elde edildiği bölgeler çeşitli grafiklerle gösterilmiştir. Son olarak elde edilen bu çözümlerin kararlılık (stabilite) analizleri yapılmış ve sonuçlar çeşitli grafikler üzerinde tartışılmıştır. Stabilite analizi yapmak için, ayrık adımlı Fourier metodu kullanılmış ve metot, denkleme uyarlanmıştır.

Many phenomenons in nature are modeled by systems of nonlinear equations. Most of such systems have nonlinear wave type solutions and some of them are named solitons which are localized wave solutions. The analytical and numerical solutions of the nonlinear Schrödinger (NLS) equation which is used in modeling of nonlinear waves in optics, have been extensively studied in the literature. For performance improvement in inter-continent data transmission, third order dispersion (3OD) should be added to this model by modifying the standard (1+1)D NLS equation. In this study, exact soliton solutions of higher order cubic-quintic NLS (CQNLS) equation with a particular type of PT-symmetric potential and the third order dispersion term are investigated and results are presented graphically. In addition to this, in order to compare the exact soliton solutions to the numerical solutions, the well known spectral renormalization (SR) method, which is essentially a Fourier iteration is modified for the problem. Numerical solutions and exact solutions are compared and various graphics are depicted for varying coefficients of third order dispersion term and the potential depths of the PT-symmetric potential. Finally, nonlinear and linear stability analysis of numerically obtained solitons are analyzed and results are examined with several graphics. In order to nonlinear stability analysis, split-step Fourier method is used and modified to the problem.